کپی شد

فیزیک

مفاهیم ریاضی

مثلثات

مثلث قائم الزاویه:

هر مثلث که زاویۀ قائمه (

90 °

) داشته باشد را مثلث قائم الزاویه و ضلع روبه‌رو به زاویۀ قائمه را وتر می‌گوییم و طبق رابطۀ فیثاغورس داریم:

$مثلث قائم الزاویه$

A B = c, A C = b, B C = a

a^{2} + b^{2} = c^{2}

یکا و اعداد
☑ اعداد پرکاربرد:

1 a = 3, b = 4, c = 5 \Rightarrow 3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

2 a = 6, b = 8, c = 10 \Rightarrow 6^{2} + 8^{2} = 10^{2}

3 a = 5, b = 12, c = 13 \Rightarrow 5^{2} + 12^{2} = 13^{2}

نسبت‌های مثلثاتی:

زاویۀ حادۀ

θ

(

θ < 90 °

) را در نظر بگیرید. مثلث قائم الزاویه‌ای مانند شکل بالا رسم می‌کنیم که یک زاویۀ آن

θ

باشد:

سینوس:

حاصل تقسیم طول ضلع روبه‌رو به زاویۀ

θ

به طول وتر را سینوس

θ

می‌نامیم و با

\sin θ

نشان می‌دهیم:

\sin θ = \frac{طول ضلع مقابل}{وتر} = \frac{a}{c}

کسینوس:

حاصل تقسیم طول ضلع مجاور به زاویۀ

θ

به طول وتر را کسینوس

θ

می‌نامیم و با

\cos θ

نشان می‌دهیم:

\cos θ = \frac{طول ضلع مجاور}{وتر} = \frac{b}{c}

تانژانت:

حاصل تقسیم طول ضلع مقابل به زاویۀ

θ

به طول ضلع مجاور به زاویۀ

θ

را تانژانت

θ

می‌نامیم و با

\tan θ

نشان می‌دهیم:

\tan θ = \frac{طول ضلع مقابل}{طول ضلع مجاور} = \frac{a}{b} = \frac{\sin θ}{\cos θ}

☑ اگر دو طرف رابطۀ فیثاغورس را بر

c^{2}

تقسیم کنیم خواهیم داشت:

\frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} \Rightarrow {(\frac{a}{c})}^{2} + {(\frac{b}{c})}^{2} = 1

\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1

با استفاده از رابطۀ بالا، با داشتن یک نسبت مثلثاتی به راحتی می‌توانیم نسبت‌های مثلثاتی دیگر آن زاویه را بدست آوریم.

مثال:

\sin 37 ° = 0 / 6

است. نسبت‌های مثلثاتی

\cos 37 °

\tan 37 °

را حساب کنید.

\sin^{2} (37) + \cos^{2} (37) = 1

\Rightarrow 0 / 36 + \cos^{2} (37) = 1

\Rightarrow \cos 37 ° = 0 / 8

\tan 37 ° = \frac{\sin 37 °}{\cos 37 °} = \frac{0 / 6}{0 / 8} = \frac{3}{4} = 0 / 75

یا می‌توانیم از تعریف نسبت‌های مثلثاتی و اعداد پرکاربردی که در بالا گفته شد استفاده کنیم به این شکل که:

\sin 37 ° = 0 / 6 = \frac{6}{10} = \frac{طول ضلع مقابل}{وتر}

\Rightarrow طول ضلع مقابل = 6

\Rightarrow وتر = 10

6^{2} + 8^{2} = 10^{2}

\cos 37 ° = \frac{طول ضلع مجاور}{وتر} = 0 / 8 = \frac{8}{10}

\tan 37 ° = \frac{طول ضلع مقابل}{طول ضلع مجاور} = \frac{6}{8} = 0 / 75

شیب خط:

$مثلث قائم الزاویه در صفحۀ مختصات$

پاره‌خط

A B

را در صفحۀ مختصات در نظر بگیرید که با محور طول (

x

) زاویۀ

θ

می‌سازد. می‌دانیم که شیب این خط برابر است با نسبت عرض به طول آن (

\frac{a}{b}

)، و مشخص است که پاره‌خط

A B

با محور طول تشکیل مثلث قائم الزاویۀ

A B C

را داده‌اند. در این مثلث تانژانت زاویۀ

θ

برابر است با

\frac{a}{b}

. پس نتیجه می‌گیریم:

شیب A B = \tan θ = \frac{a}{b} = \frac{\sin θ}{\cos θ}

نسبت‌های مثلثاتی پرکاربرد:

نسبت‌های مثلثاتی پرکاربرد
زاویه	$\sin$	$\cos$	$\tan$
صفر	صفر	$1$	صفر
$30 °$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45 °$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60 °$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90 °$	$1$	صفر	تعریف نشده
$180 °$	صفر	$1$	صفر

☑ در مثلث قائم الزاویه، دو زاویۀ غیر قائمه متمم یکدیگرند. یعنی در مثلث

\overset{△}{A B C}

داریم:

\overset{\land}{C} = 90 ° \Rightarrow \overset{\land}{A} + \overset{\land}{B} = 90 °

اگر اندازۀ زاویۀ

A

برابر

θ

باشد، روابط زیر بین نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های متمم برقرار است:

\sin (\frac{π}{2} - θ) = \cos (θ)

\cos (\frac{π}{2} - θ) = \sin (θ)

1 \sin 30 ° = \cos 60 ° = \frac{1}{2}

2 \sin 60 ° = \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}

3 \sin 37 ° = \cos 53 ° = 0 / 6

4 \sin 53 ° = \cos 37 ° = 0 / 8

0 رای 
دفتر 
نظر 

بعدی

هیچ نظری ثبت نشده

×

اندازه‌گیری
کار و انرژی
ویژگی‌های ماده
گرما
ترمودینامیک
الکتریسیته ساکن
جریان الکتریکی و مدار
مغناطیس
القای الکترومغناطیسی
حرکت شناسی
دینامیک
نوسان و موج
برهم کنش‌های موج
فیزیک اتمی
فیزیک هسته‌ای
مفاهیم ریاضی

حمایت مالی

حمایت مالی داوطلبانه و اختیاری

فیزیک

جستجوی درسنامه

جستجوی پیشرفتۀ تست

فیزیک

مفاهیم ریاضی

مثلثات

مثلث قائم الزاویه:

نسبت‌های مثلثاتی:

سینوس:

کسینوس:

تانژانت:

شیب خط:

نسبت‌های مثلثاتی پرکاربرد:

حمایت مالی