کپی شد

فیزیک

کار و انرژی

کار انجام شده توسط نیروی ثابت

کار:

تقریبا غیرممکن است که بتوانیم مفهوم انرژی را بدون در نظر گرفتن مفهوم کار، که رابطهٔ تنگاتنگی با آن دارد تصور کنیم. انرژی را به کمک مقدار کاری که می‌تواند انجام دهد اندازه‌گیری می‌کنند.

برای حالتی که نیروی وارد شده به جسم (

F

)، ثابت و با جابه‌جایی جسم (

d

) در یک جهت باشد، کار به صورت رابطهٔ زیر تعریف می‌شود:

W = F d

کار انجام شده توسط نیروی ثابت که نیرو با جابه‌جایی هم جهت است

کار، همان یکای انرژی را دارد و کمیتی نرده‌ای است. در این رابطه به منظور محاسبۀ کار باید به دو نکته توجه کرد. اول آنکه، نیروی ثابت وارد بر جسم، باید با جابه‌جایی آن هم جهت باشد و دوم آنکه، باید بتوان جسم را مانند یک ذره فرض کرد.

تألیفی

1 جسمی تحت نیروی ثابت و افقی $400$ نیوتون، با تندی $6 \frac{m}{s}$ در حرکت است. کار انجام شده توسط این نیرو در طول $5$ ثانیه چند کیلوژول است؟

$24$
$12$
$20$
$30$

پاسخ: گزینۀ 2

وقتی می‌گوییم جسمی با تندی

6 \frac{m}{s}

حرکت می‌کند یعنی در هر ثانیه

6

متر حرکت می‌کند:

W = F d \Rightarrow W = 400 \times 6 = 2400 J

این مقدار کار انجام شده در یک ثانیه است. حال مقدار کار انجام شده در

5

ثانیه را حساب می‌کنیم:

W = 2400 \times 5 = 12000 J = 12 k J

اگر نیروی وارد شده به جسم با جابه‌جایی زاویۀ

θ

بسازد، در این حالت نیروی

\vec{F}

دارای دو مؤلفه است؛ یکی موازی با جابه‌جایی و دیگری عمود بر آن. مؤلفه‌ای از نیرو که بر جابه‌جایی عمود است (

F \sin θ

) کاری روی جسم انجام نمی‌دهد. کار انجام شده روی جسم تنها ناشی از مؤلفه‌ای از نیرو است که در راستای جابه‌جایی است (

F \cos θ

). در این حالت، کاری که نیروی ثابت

\vec{F}

به ازای جابه‌جایی

\vec{d}

روی جسم انجام می‌دهد از رابطۀ زیر به دست می آید:

W = (F \cos θ) d

کار انجام شده توسط نیروی ثابت که نیرو با جابه‌جایی زاویۀ θ می‌سازد

اگر نیرو بر راستای جابه‌جایی عمود (

θ = 90 °

) باشد،

\cos θ = 0

و کار انجام شده توسط نیرو صفر است.

اگر

0 \leq θ < 90 °

باشد،

\cos θ > 0

و کار انجام شده توسط نیرو مثبت است.

اگر

90 ° < θ \leq 180 °

باشد،

\cos θ < 0

و کار انجام شده توسط نیرو منفی است.

ریاضی 93 خارج کشور

2 جسمی به جرم $3 k g$ روی سطح افقی به حال سکون قرار دارد. نیروی ثابت $\vec{F} = 15 \vec{i} + 20 \vec{j}$ در SI به جسم وارد می‌شود و جسم بر روی محور ‎ $x$ ‏، $10$ ‏متر جابه‌جا می‌شود. کار نیروی $F$ در این جابه‌جایی چند ژول است؟

$250$
$200$
$150$
$90$

پاسخ: گزینۀ 3

چون جسم بر محور

x

حرکت می‌کند مؤلفۀ افقی نیروی

F

کار انجام می‌دهد و کار مؤلفۀ عمودی برابر صفر است زیرا این مؤلفه با جابه‌جایی زاویۀ

90

می‌سازد و

\cos (90) = 0

W = (F \cos θ) d = 15 \times \cos (0) \times 10 = 150 J

☑ در این حالت، هرچه

\cos θ

بزرگ‌تر باشد کار انجام شده بزرگ‌تر خواهد بود و یا برای انجام مقدار مشخصی کار نیروی کمتری نیاز است:

تألیفی

3 شخصی جسمی را با سه طناب با طول‌های مختلف می‌کشد. اگر جابه‌جایی و کاری که این شخص در هر سه بار روی جعبه انجام می‌دهد یکسان باشد کدام مقایسه در مورد نیرویی که شخص وارد می‌کند درست است؟

$F_{1} < F_{2} < F_{3}$
$F_{3} < F_{2} < F_{1}$
$F_{3} < F_{1} < F_{2}$
$F_{1} = F_{2} = F_{3}$

پاسخ: گزینۀ 2

زاویۀ نیرو و جابه‌جایی بزرگ‌تر از صفر و کوچکتر از

90

است در نتیجه با افزایش زاویه،

\cos (θ)

کوچک‌تر می‌شود در نتیجه

F

بزرگ‌تر خواهد شد:

W = (F \cos θ) d \Rightarrow F = \frac{W}{d \cos θ}

هرچه

\cos (θ)

بزرگ‌تر شود

F

کوچک‌تر می‌شود.

تألیفی

4 شکل زیر چهار وضعیت را نشان می‌دهد که در آنها بر جعبه‌ای که روی سطح بدون اصطکاکی به طرف راست به اندازهٔ مسافت $d$ می‌لغزد، نیرویی وارد می‌شود. بزرگی نیروها یکسان و جهت آنها متفاوت است. به ترتیب از راست به چپ در کدام وضعیت کار انجام شده روی جعبه منفی، صفر و حداکثر است؟

$3 - 4 - 2$
$4 - 2 - 1$
$1 - 2 - 4$
$1 - 4 - 2$

پاسخ: گزینۀ 1

در همۀ وضعیت‌ها اندازۀ

\vec{F}

\vec{d}

یکسان است و تفاوت در زاویۀ بین جابه‌جایی و نیرو (

\cos θ

) است. در وضعیت

2

بعد از تجزیۀ بردار نیرو، مؤلفۀ افقی آن در خلاف جهت جابه‌جایی خواهد بود (

\cos 180 ° = - 1

) و کار منفی می‌باشد. در وضعیت

4

نیرو عمود بر جابه‌جایی است (

\cos 90 ° = 0

) درنتیجه کار صفر می‌شود. در وضعیت

1

3

کار مثبت است و چون در وضعیت

3

زاویۀ نیرو و جابه‌جایی صفر است (

\cos 0 ° = 1

) در نتیجه در این وضعیت کار حداکثر مقدار ممکن می‌باشد.
در وضعیت

1

به این دلیل کار مثبت است که بعد از تجزیۀ بردار نیرو، مؤلفۀ افقی آن هم جهت با جابه‌جایی می‌باشد.

θ_{1} > θ_{3} \Rightarrow \cos θ_{1} < \cos θ_{3}

\Rightarrow (F \cos θ_{1}) d < (F \cos θ_{3}) d

W_{2} < 0 = W_{4} < W_{1} < W_{3}

رابطهٔ

W = (F \cos θ) d

حالت کلی برای محاسبۀ کار می‌باشد. بسته به نوع نیرو و زاویه‌ای که با جابه‌جایی می‌سازد این رابطه می‌تواند به شکل‌های دیگری تبدیل شود. برای مثال رابطهٔ

W = F d

حالت خاصی از آن است که در آن

θ = 0

است در نتیجه

\cos (θ) = 1

می‌شود. در ادامه بعضی حالت‌ها را بررسی خواهیم کرد:

☑ اگر جسم را با حرکت یکنواخت (با تندی ثابت و بدون شتاب) در راستای قائم رو به بالا جابه‌جا کنیم نیروی وارده برابر نیروی وزن و هم جهت با جابه‌جایی خواهد بود.

کار انجام شده توسط نیروی ثابت در حرکت یکنواخت در راستای قائم و رو به بالا

کار نیروی

\vec{F_{1}}

برابر است با:

θ = 0, \cos (0) = 1, F = F_{1} = m g

W_{F_{1}} = (F \cos θ) d = m g d

و کار نیروی وزن برابر است با:

θ = 180, \cos (180) = - 1, F = m g

W_{m g} = (F \cos θ) d = - m g d

تألیفی

5 ورزشکاری وزنه‌ای به جرم $80 k g$ را به طور یکنواخت، $50 c m$ بالای سر خود می‌برد. کاری که این ورزشکار روی وزنه انجام داده چند ژول است؟ ( $g = 10 \frac{N}{k g}$ )

$800$
$- 800$
$400$
$- 400$

پاسخ: گزینۀ 3

حرکت یکنواخت است پس نیرویی که ورزشکار وارد می‌کند برابر نیروی وزن است. همچنین نیرو و جابه‌جایی هم جهت می‌باشند:

θ = 0 \Rightarrow \cos (0) = 1, F = m g, d = 50 c m = 0 / 5 m

W_{F} = m g d = 80 \times 10 \times 0 / 5 = 400 J

دقت کنید که اگر کار نیروی وزن را خواسته بود:

W_{m g} = - m g d = - 400

☑ اگر جسم را با حرکت یکنواخت (با تندی ثابت و بدون شتاب) در راستای قائم رو به پایین جابه‌جا کنیم نیروی وارده برابر نیروی وزن و در خلاف جهت جابه‌جایی خواهد بود:

کار انجام شده توسط نیروی ثابت در حرکت یکنواخت در راستای قائم و رو به پایین

کار نیروی

\vec{F_{1}}

برابر است با:

θ = 180, \cos (180) = - 1, F = F_{1} = m g

W_{F_{1}} = (F \cos θ) d = - m g d

و کار نیروی وزن برابر است با:

θ = 0, \cos (0) = 1, F = m g

W_{m g} = (F \cos θ) d = m g d

تألیفی

6 ورزشکاری وزنه‌ای به جرم $80 k g$ را به طور یکنواخت، از ارتفاع $50 c m$ بالای سر خود پایین می‌آورد. کاری که این ورزشکار روی وزنه انجام داده چند ژول است؟ ( $g = 10 \frac{N}{k g}$ )

$800$
$- 800$
$400$
$- 400$

پاسخ: گزینۀ 4

حرکت یکنواخت است پس نیرویی که ورزشکار وارد می‌کند برابر نیروی وزن است. نیرو و جابه‌جایی خلاف جهت هم می‌باشند:

θ = 180 \Rightarrow \cos (180) = - 1, F = m g, d = 50 c m = 0 / 5 m

W_{F} = - m g d = 80 \times 10 \times (- 1) \times 0 / 5 = - 400 J

دقت کنید که اگر کار نیروی وزن را خواسته بود:

W_{m g} = + m g d = + 400

☑ وقتی جسم روی سطح شیب‌دار قرار داشته باشد با فرض اینکه سطح بدون اصطحکاک باشد و نیرویی هم به جسم وارد نکنیم، جسم تحت تأثیر نیروی وزن خود قرار دارد. اگر سطح شیب‌دار با سطح زمین زاویۀ

α

بسازد، بعد از تجزیۀ بردار نیروی وزن، مؤلفه‌ای که بر سطح شیب‌دار عمود است برابر (

m g \cos α

) خواهد بود و مؤلفه‌ای که در راستای سطح شیب‌دار و جابه‌جایی است برابر (

m g \sin α

) خواهد بود.

تجزیۀ بردار نیروی وزن جسم بر روی سطح شیب‌دار

با توجه به شکل بالا فرض کنید جسم از بالا تا پایین سطح شیب‌دار که طول آن

d

است حرکت می‌کند. کار نیروی وزن را حساب می‌کنیم و ثابت خواهیم کرد که کار نیروی وزن به مسیر جابه‌جایی جسم بستگی ندارد و فقط به اختلاف ارتفاع نقطۀ آغاز و پایان حرکت (

Δ h

) بستگی دارد.

\sin α = \frac{h}{d} \Rightarrow (\sin α) d = h, W_{m g} = m g \underset{h}{\underset{⏟}{(\sin α) d}} = m g h

W_{m g} = \pm m g h

اگر حرکت رو به بالا باشد کار نیروی وزن منفی و اگر رو به پایین باشد مثبت است.

تألیفی

7 جسمی به جرم $5 k g$ مطابق شکل از بالای سطح شیب‌داری تا سطح زمین جابه‌جا می‌شود. کار نیروی وزن جسم چند ژول است؟ ( $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ )

$- 300$
$+ 250 \sqrt{3}$
$+ 300$
$- 250 \sqrt{3}$

پاسخ: گزینۀ 3

چون جسم از بالا به پایین جابه‌جا شده کار نیروی وزن مثبت است:

W_{m g} = m g \sin 30 ° d = + m g h = 5 \times 10 \times 6 = + 300 J

ریاضی 93 خارج کشور

8 در شکل مقابل، برای هل دادن صندوقی به جرم $20 k g$ به سمت بالای سطح شیب‌دار، نیروی $F$ به موازات سطح شیب‌دار به صندوق وارد می‌شود. در مدتی که صندوق $2$ متر روی سطح شیب‌دار بالا می‌رود، کار نیرویی که از طرف سطح به صندوق وارد می‌شود، چند ژول است؟ (‎ $μ_{k} = \frac{1}{4}$ ‏، ‎ $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ ‏ و ‎ $\sin 37 ° = 0 / 6$ است.)

صفر
$- 80$
$- 80 \sqrt{5}$
$- 80 \sqrt{17}$

پاسخ: گزینۀ 2

دو نیرو از طرف سطح به جسم وارد می‌شود. یکی نیروی عمودی تکیه‌گاه (

F_{N}

) است که برابر مؤلفۀ عمودی نیروی وزن (

m g \cos 37 °

) است و چون بر جابه‌جایی عمود است کار آن صفر است. دیگری نیروی اصطحکاک جنبشی است که در راستای جابه‌جایی و در خلاف جهت آن است. بنابراین کاری که از طرف سطح بر روی جسم انجام می‌شود برابر کار نیروی اصطحکاک است:

\sin 37 ° = 0 / 6 \overset{6^{2} + 8^{2} = 10^{2}}{\to} \cos 37 ° = 0 / 8

f_{k} = \underset{F_{N}}{\underset{⏟}{m g \cos 37 °}} μ_{k} = 20 \times 10 \times \frac{8}{10} \times \frac{1}{4} = 40 N

W_{f_{k}} = f_{k} \cos (180 °) d = 40 \times (- 1) \times 2 = - 80 J

W_{R} = W_{F_{N}} + W_{f_{k}} = 0 + (- 80) = - 80 J

☑ اگر جسم را با شتاب ثابت در راستای قائم رو به بالا جابه‌جا کنیم:

کار انجام شده توسط نیروی ثابت در حرکت شتابدار در راستای قائم و رو به بالا

θ = 0, \cos (0) = 1, F_{1} = m g + m a = m (g + a)

W_{F_{1}} = m (g + a) d

تألیفی

9 جسمی به جرم $5 k g$ را با شتاب ثابت $4 \frac{m}{s^{2}}$ تا ارتفاع $20 m$ در راستای قائم بالا می‌بریم. کار انجام شده توسط نیروی بالابر چند ژول است؟ ( $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ )

$600$
$- 600$
$1400$
$- 1400$

پاسخ: گزینۀ 3

W_{F} = m (g + a) d = 5 \times (10 + 4) \times 20 = 1400 J

☑ اگر جسم را با شتاب ثابت در راستای قائم رو به پایین جابه‌جا کنیم:

کار انجام شده توسط نیروی ثابت در حرکت شتابدار در راستای قائم و رو به پایین

θ = 180, \cos (180) = - 1, F_{1} = m g - m a = m (g - a)

W_{F_{1}} = - m (g - a) d

در حرکت شتابدار در راستای قائم اگر حرکت تندشونده باشد علامت شتاب مثبت و اگر کندشونده باشد علامت آن منفی خواهد بود.

دقت کنید که نیازی به حفظ کردن روابط بدست آمده برای حالت‌های خاص نداریم و فقط رابطۀ کلی محاسبۀ کار کافی است و بدست آوردن نیرو را در مبحث حرکت‌شناسی و دینامیک به طور کامل یاد خواهید گرفت.

☑ در حرکت دایره‌ای یکنواخت نیروی مرکزگرا همواره بر مسیر حرکت عمود می‌باشد (

θ = 90 ° \Rightarrow \cos θ = 0

)، در نتیجه کار انجام شده توسط نیروی مرکزگرا صفر است.

کار کل:

اگر به جای یک نیرو، چند نیرو بر جسمی وارد شود، کار را به دو روش می‌توانیم محاسبه کنیم. یک روش آن است که کار انجام شده توسط هر نیرو را به طور جداگانه محاسبه کنیم. سپس با جمع جبری کار انجام شده توسط تک تک نیروها کار کل (

W_{t}

) را بیابیم. روش دیگر آن است که ابتدا مؤلفهٔ در امتداد جابه‌جایی را برای هر نیرو مشخص می‌کنیم. سپس برایند آنها را حساب می‌کنیم که برابر نیروی خالصی است که به جسم وارد می‌شود و با استفاده از آن کار کل را بدست می‌آوریم.

تألیفی

10 دو نفر جسمی به جرم $50 k g$ را $5 m$ روی زمین جابه‌جا می‌کنند. یکی از آنها جسم را می‌کشد و دیگری آن را هل می‌دهد. با توجه به شکل کار کل انجام شده بر روی جسم چند ژول است؟

$150$
$950$
$450$
$550$

پاسخ: گزینۀ 3

روش اول: کار تک تک نیرو‌ها را حساب می‌کنیم.

W_{F_{1}} = (F_{1} \cos 60 °) d = 120 \times \frac{1}{2} \times 5 = 300 J

W_{F_{2}} = (F_{2} \cos 0 °) d = 50 \times 1 \times 5 = 250 J

W_{f_{k}} = (f_{k} \cos 180 °) d = 20 \times (- 1) \times 5 = - 100 J

W_{t} = W_{F_{1}} + W_{F_{2}} + W_{f_{k}} = 300 + 250 + (- 100) = 450 J

روش دوم: کار برآیند نیرو‌های وارد به جسم که در راستای جابه‌جایی هستند را حساب می‌کنیم. اندازۀ برایند نیرو‌های وارد به جسم مثبت است یعنی هم جهت با جابه‌جایی است.

F_{t} = F_{1} \cos 60 ° + F_{2} \cos 0 ° + F_{3} \cos 180 °

\Rightarrow F_{t} = (120 \times \frac{1}{2}) + (50) + (- 20) = 90 N

W_{t} = (F_{t} \cos 0 °) d = 90 \times 1 \times 5 = 450 J

به این نکته توجه کنید که نیروی وزن (

m g

) و عکس العمل آن یعنی نیروی عمودی تکیه‌گاه (

F_{N}

) نیز بر جسم وارد می‌شود اما چون عمود بر جابه‌جایی است کاری بر روی جسم انجام نمی‌دهند، مثل مولفۀ عمودی نیروی

F_{1}

که برابر (

F_{1} \sin 60 °

) است.

0 رای 
دفتر 
نظر 

بعدی قبلی

هیچ نظری ثبت نشده

×

اندازه‌گیری
کار و انرژی
ویژگی‌های ماده
گرما
ترمودینامیک
الکتریسیته ساکن
جریان الکتریکی و مدار
مغناطیس
القای الکترومغناطیسی
حرکت شناسی
دینامیک
نوسان و موج
برهم کنش‌های موج
فیزیک اتمی
فیزیک هسته‌ای
مفاهیم ریاضی

حمایت مالی

حمایت مالی داوطلبانه و اختیاری

فیزیک

جستجوی درسنامه

جستجوی پیشرفتۀ تست

فیزیک

کار و انرژی

کار انجام شده توسط نیروی ثابت

کار:

کار کل:

حمایت مالی