فیزیک

کار و انرژی

ریاضی 94 خارج کشور

پایستگی انرژی مکانیکی

61 مطابق شکل زیر، گلوله‌ای به جرم $200 g$ از ارتفاع $h$ بالای یک فنر قائم که ثابت آن $440 \frac{N}{m}$ است، رها می‌شود و پس از برخورد به فنر و فشرده کردن آن، تا نقطۀ $A$ پایین می‌آید. اگر گلوله‌ای از ارتفاع $2 h$ از بالای فنر رها شود، تندی آن در همان نقطۀ $A$ چند متر بر ثانیه خواهد بود؟ ( $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ و از اتلاف انرژی صرف نظر شود.)

$2 \sqrt{2}$
$2 \sqrt{5}$
$2$
$20$

پاسخ: گزینۀ 2

با نوشتن اصل پایستگی انرژی مکانیکی ابتدا

h

را محاسبه می‌کنیم. مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی را نقطۀ

A

در نظر می‌گیریم. در نقطۀ آغاز حرکت انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل کشسانی فنر و در انتهای مسیر انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل گرانشی آن صفر است:

Δ x = 10 c m = 0 / 1 m, m = 200 g = 0 / 2 k g

K_{1} + U_{1} + U_{e_{1}} = K_{2} + U_{2} + U_{e_{2}}

m g (h + Δ x) = \frac{1}{2} k {(Δ x)}^{2}

0 / 2 \times 10 \times (h + 0 / 1) = \frac{1}{2} \times 440 \times {(0 / 1)}^{2}

\Rightarrow h = 1 m

در حالت دوم چون جسم از ارتفاع

2 h

رها می‌شود پس از نقطۀ

A

عبور می‌کند. یک بار دیگر اصل پایستگی انرژی مکانیکی را برای نقطۀ آغاز حرکت و نقطۀ

A

می‌نویسیم با این تفاوت که جسم در نقطۀ

A

متوقف نمی‌شود و در حال حرکت است:

K_{1} + U_{1} + U_{e_{1}} = K_{2} + U_{2} + U_{e_{2}}

m g (2 h + Δ x) = \frac{1}{2} k {(Δ x)}^{2} + \frac{1}{2} m v^{2}

0 / 2 \times 10 \times (2 + 0 / 1) = (\frac{1}{2} \times 440 \times {(0 / 1)}^{2}) + (\frac{1}{2} \times 0 / 2 \times v^{2})

4 / 2 = 2 / 2 + \frac{v^{2}}{10} \Rightarrow v = 2 \sqrt{5} \frac{m}{s}

ریاضی 95

پایستگی انرژی مکانیکی

62 مطابق شکل زیر، جسمی به جرم $250 g$ از بالای یک فنر که ثابت آن $2 / 5 \frac{N}{c m}$ است، رها می‌شود و پس از برخورد به فنر، حداکثر آن را $12 c m$ فشرده می‌کند. کار نیروی وزن جسم از لحظۀ رها شدن تا لحظه‌ای که فنر حداکثر فشردگی را دارد، چند ژول است؟ (مقاومت هوا ناچیز و $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ است.)

$0 / 3$
$1 / 2$
$1 / 8$
$3 / 6$

پاسخ: گزینۀ 3

قانون پایستگی انرژی مکانیکی را برای لحظۀ رها شدن جسم و زمانی که فنر حداکثر فشردگی را دارد می‌نویسیم. مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی را جایی در نظر می‌گیریم که فنر حداکثر فشردگی را دارد:

v_{1} = v_{2} = 0 \Rightarrow K_{1} = K_{2} = 0

U_{1} + U_{e_{1}} = U_{2} + U_{e_{2}} \Rightarrow m g (h + Δ x) = \frac{1}{2} k Δ x^{2}

در رابطۀ بالا مقدار

m g (h + Δ x)

برابر کار نیروی وزن است در نتیجه:

Δ x = 12 c m = 0 / 12 m

k = 2 / 5 \frac{N}{c m} \times \frac{100 c m}{1 m} = 250 \frac{N}{m}

کار نیروی وزن = \frac{1}{2} \times 250 \times {(\frac{12}{100})}^{2} = 1 / 8 J

ریاضی 97

پایستگی انرژی مکانیکی

63 در شکل زیر، وزنه‌ای به جرم $m$ با تندی اولیۀ $v_{0} = 4 \frac{m}{s}$ مماس با سطح بدون اصطحکاک، رو به پایین پرتاب می‌شود. اگر بیشترین انرژی کشسانی فنر در این برخورد $1 / 8$ انرژی جنبشی اولیۀ وزنه باشد، حداقل طول فنر به چند سانتی‌متر می‌رسد؟ (‎ $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ ‏، ‎ $\sin 37 ° = 0 / 6$ )

$20$
$25$
$30$
$34$

پاسخ: گزینۀ 4

جسم در انتهای حرکت خود فنر را فشرده می‌کند و در این حالت فنر حداقل طول خود (

L

) را دارد. مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی را جایی می‌گیریم که جسم متوقف می‌شود. حال قانون پایستگی انرژی مکانیکی را برای شروع و پایان حرکت جسم می‌نویسیم:

K_{2} + U_{2} = U_{e_{1}} = 0, U_{e_{2}} = 1 / 8 K_{1}

E_{2} = E_{1} \Rightarrow K_{1} + U_{1} = U_{e_{2}} = 1 / 8 K_{1}

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g h^{'} = 1 / 8 \times \frac{1}{2} m v_{0}^{2}

m g h^{'} = 0 / 8 \times \frac{1}{2} m v_{0}^{2}

10 h^{'} = \frac{8}{10} \times \frac{1}{2} \times 16 \Rightarrow h^{'} = 0 / 64 m = 64 c m

یعنی ارتفاع جسم

64

سانتی‌متر کم می‌شود. حال ار تعریف سینوس زاویه برای بدست آوردن حداقل طول فنر (

L

) استفاده می‌کنیم:

\sin 37 ° = \frac{h^{″}}{L}, h^{″} = h - h^{'} = 85 - 64 = 21 c m

\Rightarrow \sin 37 ° = \frac{6}{10} = \frac{21}{L}

\Rightarrow L = 35 c m

ریاضی 98

پایستگی انرژی مکانیکی

64 جسمی به جرم $2$ کیلوگرم روی سطح شیب‌دار با اصطحکاک ناچیز به سمت پایین می‌لغزد و با تندی $2 \frac{m}{s}$ از نقطۀ $A$ عبور کرده و در نقطۀ $B$ به فنر برخورد می‌کند. اگر حداکثر فشردگی فنر $x$ و بیشینۀ انرژی ذخیره شده در فنر $10$ ژول باشد، $x$ چند سانتی‌متر است؟ ( $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ )

$10$
$20$
$30$
$40$

پاسخ: گزینۀ 2

جسم در نقطۀ

C

متوقف می‌شود. اگر همین نقطه را مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی در نظر بگیریم خواهیم داشت:

K_{2} + U_{2} = U_{e_{2}} = 0, U_{e_{2}} = 10 J

E_{2} = E_{1} \Rightarrow K_{1} + U_{1} = U_{e_{2}}

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + m g h = (\frac{1}{2} \times 2 \times 2^{2}) + (2 \times 10 \times h) = 10

\Rightarrow 4 + 20 h = 10 \Rightarrow h = 0 / 3 m = 30 c m

h^{'} = 30 - 20 = 10 c m

حال از تعریف سینوس زاویه برای بدست آوردن

x

استفاده می‌کنیم:

\sin 30 ° = \frac{h^{'}}{x} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{10}{x}

\Rightarrow x = 20 c m

تجربی 99

پایستگی انرژی مکانیکی

65 مطابق شکل زیر، وزنه‌ای به جرم $2$ کیلوگرم را با سرعت اولیۀ $2 \frac{m}{s}$ از $2$ متری بالای یک فنر قائم، به سمت فنر پرتاب می‌کنیم، اگر از جرم فنر و مقاومت هوا صرف نظر کنیم و بیشینۀ انرژی ذخیره شده در فنر $46 J$ باشد، بیشینۀ تراکم طول فنر چند سانتی‌متر است؟ ( $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ )

$1 / 3$
$5$
$8$
$10$

پاسخ: گزینۀ 4

مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی را جایی در نظر می‌گیریم که فنر حداکثر فشردگی را دارد. در ابتدای حرکت جسم دارای انرژی جنبشی و پتانسیل گرانشی است و در انتهای مسیر جسم متوقف می‌شود و انرژی آن به انرژی پتانسیل کشسانی تبدیل می‌شود:

E_{1} = E_{2} \Rightarrow K_{1} + U_{1} = U_{e_{2}}

\Rightarrow \frac{1}{2} m v^{2} + m g (2 + Δ x) = 46

\Rightarrow (\frac{1}{2} \times 2 \times 2^{2}) + 20 (2 + Δ x) = 46

\Rightarrow Δ x = 0 / 1 m = 10 c m

تألیفی

کار و انرژی درونی

66 مکعبی به جرم $4 k g$ را روی سطحی ناصاف با تندی اولیۀ $10 \frac{m}{s}$ پرتاب می‌کنیم و بعد از طی مسافتی تندی آن به $6 \frac{m}{s}$ می‌رسد. کار نیروی اصطحکاک چند ژول است؟

$- 72$
$- 128$
$- 200$
$- 100$

پاسخ: گزینۀ 2

سطحی که مکعب روی آن در حرکت است را مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی در نظر می‌گیریم:

U_{2} = U_{1} = 0

پس انرژی مکعب فقط از نوع انرژی جنبشی است:

W_{f} = E_{2} - E_{1} = K_{2} - K_{1}

\Rightarrow W_{f} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6^{2} - \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{2}

\Rightarrow W_{f} = 72 - 200 = - 128 J

تألیفی

کار و انرژی درونی

67 توپی به جرم $2 k g$ را با تندی $15 \frac{m}{s}$ به طرف بالا پرتاب می‌کنیم تا به نقطۀ اوج خود در ارتفاع $10$ متری از نقطۀ پرتاب برسد. کار نیروی مقاومت هوا چند ژول است؟

$- 100$
$- 50$
$- 25$
$- 5$

پاسخ: گزینۀ 3

نقطۀ پرتاب را مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی در نظر می‌گیریم در نتیجه

U_{1} = 0

و در نقطۀ اوج تندی توپ صفر می‌شود در نتیجه

K_{2} = 0

W_{f} = E_{2} - E_{1} = U_{2} - K_{1}

\Rightarrow W_{f} = m g h_{2} - \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = 2 \times 10 \times 10 - \frac{1}{2} \times 2 \times 15^{2}

\Rightarrow W_{f} = 200 - 225 = - 25 J

تألیفی

کار و انرژی درونی

68 جسمی به جرم $5 k g$ از ارتفاع $5$ متری رها می‌شود. در شرایطی که مقاومت هوا وجود داشته باشد، انرژی پتانسیل گرانشی و انرژی جنبشی آن به ترتیب از راست به چپ چگونه تغییر می‌کنند؟

$250$
ژول کاهش _ بیشتر از
$250$
ژول افزایش
$250$
ژول کاهش _ کمتر از
$250$
ژول افزایش
$250$
ژول کاهش _
$250$
ژول افزایش
$250$
ژول افزایش _
$250$
ژول کاهش

پاسخ: گزینۀ 2

در ابتدای حرکت تندی جسم صفر است در نتیجه

K_{1} = 0

و در انتهای حرکت ارتفاع جسم صفر است در نتیجه

U_{2} = 0

Δ U = U_{2} - U_{1} = 0 - m g h = - 5 \times 10 \times 5 = - 250 J

انرژی پتانسیل گرانشی آن

250

ژول کاهش می‌یابد.
اگر مقاومت هوا وجود نمی‌داشت طبق اصل پایستگی انرژی مکانیکی، انرژی جنبشی جسم

250

ژول افزایش پیدا می‌کرد اما چون مقاومت هوا وجود دارد، هنگام سقوط مقداری از انرژی تلف می‌شود در نتیجه انرژی جنبشی جسم کمتر از

250

ژول افزایش پیدا می‌کند.

W_{f} = Δ K + Δ U \Rightarrow Δ K = W_{f} - Δ U

\Rightarrow Δ K = W_{f} - (- 250) = \overset{(-)}{\overset{⏞}{W_{f}}} + 250

در سوالات مشابه با استفاده از رابطۀ

W_{f} = Δ K + Δ U

و دقت به این موضوع که

W_{f}

مقداری منفی است به راحتی میتوان به جواب رسید.

تألیفی

کار و انرژی درونی

69 توپی به جرم $500 g$ در راستای افق با تندی $10 \frac{m}{s}$ از نقطۀ $A$ شروع به حرکت می کند. اگر هنگامی که توپ به نقطۀ $B$ می‌رسد $20$ درصد انرژی آن بر اثر اصطکاک بین توپ و سطح به انرژی درونی تبدیل شده باشد، تندی توپ در نقطۀ $B$ چقدر است؟

$2 \sqrt{10}$
$2 \sqrt{5}$
$4 \sqrt{5}$
$4 \sqrt{10}$

پاسخ: گزینۀ 3

چون حرکت توپ در راستای افق است، انرژی آن فقط از نوع جنبشی است که

20

درصد آن در حین حرکت به انرژی درونی تبدیل می‌شود:

m = 500 g = 0 / 5 k g, E_{2} = \frac{80}{100} E_{1}

\frac{1}{2} m v_{2}^{2} = \frac{8}{10} \times \frac{1}{2} m v_{1}^{2}

\Rightarrow \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times v_{2}^{2} = \frac{8}{10} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 10^{2}

\Rightarrow v_{2}^{2} = 80 \Rightarrow v_{2} = 4 \sqrt{5}

تجربی 97

کار و انرژی درونی

70 گلوله‌ای به جرم $200 g$ با تندی اولیۀ $30 \frac{m}{s}$ در راستای قائم، رو به بالا پرتاب می‌شود. مقاومت هوا باعث می‌شود، $10 J$ از انرژی گلوله تا رسیدن به اوج تلف شود. اگر مقاومت هوا وجود نمی‌داشت، گلوله چند متر بالاتر می‌رفت؟ ( $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ )

$5$
$10$
$15$
$20$

پاسخ: گزینۀ 1

نقطۀ پرتاب را مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی در نظر می‌گیریم (

U_{1} = 0

). در نقطۀ اوج تندی گلوله صفر می‌شود (

K_{2} = 0

). ابتدا قانون پایستگی انرژی مکانیکی را برای زمانی که مقاومت هوا وجود نداشته باشد می‌نویسیم:

m = 200 g = 0 / 2 k g

E_{1} = E_{2}

\Rightarrow K_{1} + U_{1} = K_{2} + U_{2} \Rightarrow \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h

\Rightarrow \frac{1}{2} \times 0 / 2 \times 30^{2} = 0 / 2 \times 10 \times h

\Rightarrow h = 45 m

حال قانون پایستگی انرژی مکانیکی را برای زمانی که مقاومت هوا وجود داشته باشد می‌نویسیم:

E_{1} - (10 J) = E_{2}

\Rightarrow K_{1} + U_{1} - 10 = K_{2} + U_{2}

\Rightarrow \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - 10 = m g h

\Rightarrow \frac{1}{2} \times 0 / 2 \times 30^{2} - 10 = 0 / 2 \times 10 \times h^{'}

\Rightarrow h^{'} = 40 m

h - h^{'} = 45 - 40 = 5 m

قبلی
صفحه 7 از 9

بعدی

×

اندازه‌گیری
کار و انرژی
ویژگی‌های ماده
گرما
ترمودینامیک
الکتریسیته ساکن
جریان الکتریکی و مدار
مغناطیس
القای الکترومغناطیسی
حرکت شناسی
دینامیک
نوسان و موج
برهم کنش‌های موج
فیزیک اتمی
فیزیک هسته‌ای
مفاهیم ریاضی

حمایت مالی

حمایت مالی داوطلبانه و اختیاری

فیزیک

جستجوی درسنامه

جستجوی پیشرفتۀ تست

حمایت مالی